1.1. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Para polígonos (regiones planas cerradas acotadas por segmentos de recta), el problema de encontrar el área apenas consiste en sustituir en una fórmula. Comencemos con el área de un rectángulo la cual simplemente se calcula multiplicando su base por la altura. En base a esta conocida fórmula, podemos deducir de manera sucesiva las fórmulas para el área de un paralelogramo, un triángulo y cualquier polígono.

Cuando consideramos una región con frontera curva, el problema de asignar un área es significativamente más complicado. Todos tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región, pero parte del problema del área es hacer que esta idea se precise dando una definición exacta.

Recordemos que, al definir una recta tangente, primero obtuvimos una aproximación de la pendiente de la recta tangente y, a continuación, tomamos el límite de estas aproximaciones. Sigamos una idea similar para las áreas. En primer lugar, obtenemos una aproximación de la región S y después tomamos el límite de las áreas de los rectángulos cuando se incrementa el número de éstos. En el ejemplo siguiente se ilustrará dicho procedimiento

EJEMPLO 1: Obtener el área bajo la curva (región S) delimitada por una parábola desde 0 hasta 1

La primera aproximación que haremos es mediante rectángulos. Dibujaremos 4 rectángulos dentro del intervalo cuya altura estará delimitada por la curva.

Para obtener la primera aproximación se calculará el área de cada rectángulo, en los cuales, el valor de la base estará delimitado por el intervalo y la altura será el valor de la función.

Una vez que se calcula el área de cada rectángulo, se suman las cuatro para obtener nuestra primera aproximación, que en este caso tiene un valor de 0.4687. Pero, ¿Qué tan exacta es esta aproximación? Como podemos ver en la siguiente figura resulta en un valor mayor que el valor real, ya que el excedente que genera cada rectángulo (color rojo) representa el error en nuestra aproximación.

Es posible hacer mejores estimaciones al incrementar el número de rectángulos. En la siguiente figura podemos ver gráficamente las estimaciones con 10, 30 y 50 rectángulos respectivamente.

A medida que aumentamos el número de rectángulos, las estimaciones son cada vez más exactas, pero la pregunta importante es, ¿Con que número obtendremos el área exacta? Nosotros no podemos precisar un número exacto de rectángulos, ya que podríamos aumentar el número indefinidamente y siempre obtener un valor diferente, pero es aquí, donde entre el concepto del límite. Cuando nosotros aproximamos el número de rectángulos a infinito, el área será exacta. La definición simbólica de este concepto sería la siguiente: