1.3. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

El teorema fundamental del cálculo recibe de manera apropiada este nombre porque establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo: el cálculo diferencial y el cálculo integral. El Cálculo diferencial surgió del problema de la recta tangente, mientras que el Cálculo integral lo hizo de un problema en apariencia no relacionado, el problema del área. El profesor de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677), descubrió que en realidad estos dos problemas estaban íntimamente relacionados. De hecho, se dio cuenta de que la derivación y la integración son procesos inversos. El teorema fundamental del cálculo precisa la relación inversa entre la derivada y la integral. Newton y Leibniz explotaron esta relación y la usaron para desarrollar el cálculo como un método matemático sistemático. En particular, observaron que el teorema fundamental les permitía calcular con gran facilidad áreas e integrales, sin tener que calcularlas como límites de sumas.

El teorema fundamental del cálculo se divide en dos partes:

La primera parte del teorema se puede reescribir de la siguiente forma.

En la cual se afirma que, si integramos la función f y, a continuación, derivamos el resultado, regresamos a la función original. Esto lo podemos ver de una manera más sencilla con una función más simple. ¿Qué pasa si nosotros multiplicamos el número 5 por 3 y el resultado lo dividimos entre 3? Nuestro número original es 5, si lo multiplicamos por 3 da como resultado 15, y si ese resultado lo dividimos entre 3 da como resultado 5, el número original. Esto ocurre porque la multiplicación y la división son operaciones contrarias.

La segunda parte puede reescribirse de la siguiente forma.

En esta parte se afirma que si se toma una función F, la derivamos y luego integramos el resultado, regresamos a la función original F, pero en la forma F(b) – F(a). Tomadas juntas, las dos partes del teorema fundamental del cálculo expresan que la derivación y la integración son procesos inversos. Antes de ser descubierto, los problemas de hallar áreas, volúmenes y longitudes de curvas eran tan difíciles que sólo un genio podía afrontar este reto. Pero ahora, armados con un método sistemático, en las próximas sesiones veremos que estos problemas son accesibles para todos.