10.2. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. Copy

11.2.1.  RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Resolver un triángulo rectángulo consiste en calcular las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos que falten

Debemos recordar que un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90°. Para poder resolver este tipo de triángulos, necesitamos conocer como mínimo un lado. En el caso de los triángulos rectángulos, ya se conoce la medida de un ángulo (el ángulo recto, 90°). Teniendo esto en cuenta, podemos identificar dos casos:

CASO 1: Si se conocen dos lados, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para conocer el valor del lado restante.

CASO 2: Si se conocen un lado y otro ángulo, se pueden utilizar las razones trigonométricas para hallar los demás valores.

CASO 1: TEOREMA DE PITÁGORAS

Cuando conocemos dos lados en un triángulo rectángulo, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular el lado restante. El teorema de Pitágoras relaciona las longitudes de los lados del triángulo mediante la siguiente relación.

Donde c es la hipotenusa del triángulo rectángulo y ‘a’ y ‘b’son los catetos.

EJEMPLO 1: Calcular el valor de la hipotenusa de la siguiente figura:

SOLUCIÓN: Debido a que necesitamos obtener el valor de la hipotenusa (c) despejamos ‘c’ obteniendo:

Sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos:

EJEMPLO 2: Calcular la longitud del cateto en la siguiente figura

A diferencia del ejemplo anterior, en este caso, tenemos que encontrar el valor de un cateto, por lo cual tenemos que despejar la variable ‘b’ de nuestra fórmula, quedando:

Sustituimos los valores en la fórmula y resolvemos:

Para mayor información revisar el siguiente video:

CASO 2: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Recordemos que todas las razones trigonométricas relacionan un ángulo con dos lados, es decir, tres variables. Por tanto, a la hora de elegir que razón trigonométrica utilizar, deberá ser aquella en la que conozcamos dos variables. Tenemos que ir eligiendo cada una de estas fórmulas según los datos que nos dé el ejercicio.

Existen dos casos posibles que podemos encontrarnos en los problemas o ejercicios de resolución de triángulos rectángulos que son:

• Que conozcamos dos lados y nos pregunte por algún ángulo.
• Que conozcamos un lado y un ángulo y nos pidan calcular cualquier otro lado o ángulo

Si nos dan como dato dos ángulos, no podremos calcular los lados de ese triángulo rectángulo. Necesitaríamos más información. Siempre necesitamos como mínimo dos datos para calcular un tercero.

EJEMPLO 1: Calcular el cateto b del siguiente triángulo rectángulo.

SOLUCIÓN: Debido a que solo conocemos un lado del triángulo, es imposible resolverlo por medio del teorema de Pitágoras, por lo cual haremos uso de las razones trigonométricas. Primero identificamos el ángulo que utilizaremos, para este caso será el de 60°. En base a este ángulo, tenemos que elegir la razón trigonométrica que involucre tanto al lado que queremos encontrar (cateto adyacente) como al lado que conocemos (hipotenusa). Para este ejercicio será coseno. Sustituimos los valores y resolvemos como se muestra en la figura.

Para más información revisar el siguiente video

11.2.1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triángulo que no tiene un ángulo recto, es conocido como triángulo oblicuángulo. Los elementos de un triángulo oblicuángulo son 3 ángulos (A, B y C) y 3 lados opuestos a los ángulos (a,b y c). 

La resolución de un triángulo oblicuángulo consiste en hallar 3 de sus elementos (lados o ángulos) dados los otros 3 elementos. Para resolver este tipo de triángulos se utiliza la ley de Senos o la ley de Cosenos y se pueden identificar cuatro casos:

CASO I: Se conoce un lado y dos ángulos.

CASO II: Se conocen dos lados y un ángulo opuesto a alguno de ellos.

CASO III: Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos.

CASO IV: Dados sus tres lados.

LEY DE SENOS

La ley de senos se utiliza para resolver triángulos de los casos I y II y se expresa de la siguiente manera.

EJEMPLO 1: Resolver el siguiente triángulo oblicuángulo

SOLUCIÓN: En este ejemplo podemos identificar un caso II, en donde conocemos un lado y sus ángulos adyacentes. El primer paso en este ejemplo consiste en calcular el ángulo faltante, recordando que la suma de todos los ángulos en un triángulo debe sumar 180°:

Teniendo los 3 ángulos del triángulo, tenemos que formar nuestra ley de Senos:

Para obtener el valor de ‘a’ elegiremos la expresión que contiene la variable y la combinaremos con la expresión que no contiene incógnitas (segundo término) para formar una ecuación con una incógnita.

Para encontrar el valor de b el procedimiento es similar al descrito anteriormente

LEY DE COSENOS

EJEMPLO 2: Encontrar el valor del lado ‘b’ por medio de la Ley de Cosenos

SOLUCIÓN: En este ejemplo nos encontramos con un caso IV, ya que tenemos dos lados y el ángulo entre ellos. Debido a que es imposible resolverlos por ley de senos, utilizaremos la ley de cosenos. Primero tenemos que formular la ley de cosenos para el lado b, y posteriormente sustituir y resolver cada una de las operaciones.

Para complementar la sesión, favor de revisar el siguiente video:

ACTIVIDAD: Realizar los siguientes ejercicios:

1. Escribir la ley de senos y cosenos para los siguientes triángulos y calcular los datos restantes en el triángulo