3.2. ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Una ecuación diferencial de la forma:

es homogénea si las funciones M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado. Una ecuación diferencial homogénea se transforma en una ecuación de variables separables haciendo el cambio de variable y = ux.

EJEMPLO 1: Resolver la siguientes ecuación diferencial

SOLUCIÓN: Expresamos y’ como dy/dx

PASO 1: Expresamos la ecuación en la forma M(x, y)dx+N(x, y)dy=0 para verificar si es una ecuación diferencial homogénea.

PASO 2: Verificamos que las funciones M(x, y) y N(x, y) sean funciones homogéneas del mismo grado de homogeneidad. Utilizando los métodos descritos anteriormente podemos verificar que ambas funciones son homogéneas de grado 1.

PASO 3: Realizamos el siguiente cambio de variable:

Despejamos u:

Derivamos ‘y’ en el cambio de variable original:

En base a estas 3 ecuaciones hacemos el cambio de variable en la ecuación diferencial original y simplificamos

La ecuación diferencial se transforma en:

PASO 4: Resolvemos por medio de cambio de variable. Primero separamos ambas variables

Integramos ambos lados de la ecuación:

PASO 5. Regresamos a la variable original