6.1. FUNCIONES DE DOS VARIABLES

La temperatura T en un punto en la superficie de la Tierra en cualquier momento dado depende de la longitud x y la latitud y del punto. La temperatura puede concebirse entonces como una función de dos variables, x y y, o una función del par (x, y). Se indica esta dependencia funcional escribiendo T=f(x, y).

El volumen V de un cilindro circular depende de su radio r y su altura h. De hecho, se sabe que V=πr²h. Se dice que V es una función de r y h y se escribe V(r,h)=πr²h.

Para el primer ejemplo, x y y son las variables independientes y T es la variable dependiente, ya que como su nombre lo indica, depende del valor de las variables x y y.

El comportamiento de una función de dos variables se puede describir por medio de una función como las que vimos anteriormente, sin embargo, no es la única forma. Otra manera de visualizar el comportamiento de una función de dos variables es por medio de su gráfica. Así como la gráfica de una función f de una variable es una curva, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie como la que se ve en la siguiente figura.

Otra forma de visualizar una función de dos variables es por medio de las curvas de nivel. Esta forma es muy utilizada por los cartógrafos, y es un mapa de contorno en el que puntos de elevación constante se unen para formar curvas de contorno o curvas de nivel. En la siguiente figura se muestra la relación entre una gráfica y sus curvas de nivel.

Un ejemplo común de curvas de nivel se observa en mapas topográficos de regiones montañosas, como el de la siguiente figura.

 Las curvas de nivel son curvas de elevación constante sobre el nivel del mar. Si se recorre una de esas líneas de contorno, no se asciende ni desciende. Otro ejemplo común es la función temperatura. En este caso, las curvas de nivel se llaman isotermas y unen lugares con la misma temperatura. La siguiente figura es un mapa de climas del mundo con las temperaturas promedio en el mes de julio.

Una función de tres variables, f, es una regla que asigna a cada terna ordenada (x, y, z) un número real único denotado por f(x, y, z). Volvamos al primer ejemplo de esta sección, donde se dijo que la temperatura T en un punto de la superficie terrestre depende de la longitud x y la latitud y. Ahora añadiremos una tercera variable que será el tiempo, ya que la temperatura también depende de la hora del día en la que se mida. Por lo cual, esta función se vuelve una función de 3 variables T(x, y, t).