9.1. VALORES EXTREMOS

La primera y segunda derivada de una función f pueden usarse para determinar la forma de su gráfica. Si imaginamos la gráfica de una función como una curva que sube y baja, entonces los puntos alto y bajo de la gráfica o, con más precisión, los valores máximo y mínimo de la función, nos ayudarían a dibujar dicha gráfica. Estos valores los podemos encontrar por medio de la derivada.

Empezaremos por abordar el tema de encontrar los valores máximo y mínimo de una función f sobre un intervalo I. Veremos que, en muchos casos, al encontrar estos valores extremos, es posible trazar su gráfica. También, al encontrar los extremos de una función es posible resolver ciertos tipos de problemas de optimización. Los problemas de optimización son una de las aplicaciones más utilizadas del cálculo diferencial, en los cuales se requiere encontrar la manera óptima (la mejor) para hacer algo. Estos problemas pueden reducirse a encontrar los valores máximo o mínimo de una función.

En la teoría de los máximos y mínimos, podemos encontrar tres clases de puntos:

PUNTOS FRONTERIZOS. Son aquellos que delimitan un intervalo dentro de una función. Por ejemplo, [a, b] contiene ambos puntos fronterizos; [a, b) sólo contiene su punto fronterizo izquierdo; (a, b) no contiene ninguno de sus puntos fronterizos.

PUNTOS ESTACIONARIOS. Son aquellos puntos en los que la derivada es igual a cero. El nombre proviene del hecho de que un punto estacionario de la gráfica se coloca en una trayectoria horizontal, puesto que la recta tangente es horizontal. A menudo, los valores extremos aparecen en los puntos estacionarios

PUNTOS SINGULARES. Son los puntos en los que la derivada no existe. Es un punto en donde la gráfica de f tiene una esquina, una tangente vertical, quizás un salto, o cerca del cual la gráfica oscila de manera abrupta.

PUNTOS CRÍTICOS. Un punto crítico será un punto donde la derivada es cero o no está definida, es decir, es un punto estacionario o singular.

9.1.1. EXTREMOS ABSOLUTOS O GLOBALES

Para empezar, primero explicaremos exactamente lo que son estos valores. En la siguiente figura se muestra la gráfica de una función delimitada por el intervalo cerrado [1,7], en la cual, el punto más alto es (3, 5). En otras palabras, el valor más grande de la función f es f(3)=5 mientras que el valor más pequeño es f(6)=2. Decimos que f(3)=5 es el máximo absoluto o global de f y f(6)=2 es el mínimo absoluto o global. Los valores máximo y mínimo de f se llaman valores extremos absolutos ya que no hay valores más grandes o más pequeños en la función.

9.1.2. EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES

Ahora analicemos la siguiente gráfica que representa a la función f(x)=x³-5x+8. A diferencia del ejemplo anterior donde se definía un intervalo, aquí podemos encontrar un comportamiento diferente en la función. Del lado izquierdo podemos ver que la función se extiende hasta menos infinito, y del lado derecho la función se extiende hasta más infinito. Por esta razón, no se puede definir cuál es el valor más grande y el más pequeño de la función. Con esto podemos concluir que la función no tiene extremos absolutos. No obstante, observemos el intervalo cercano a c1 y c2. Como se muestra en la figura, f(c1) es el valor máximo en el intervalo (a1, b1); en forma semejante, f(c2) es el valor mínimo en el intervalo (a2, b2). A estos puntos se les llama extremos relativos o locales.

9.1.3. EXTREMOS DE UN PUNTO FRONTERA

Cuando un extremo absoluto de una función ocurre en un punto frontera de un intervalo I, como en la siguiente figura, decimos que se trata de un extremo de un punto frontera. Cuando I no es un intervalo cerrado, aunque f sea continua, no hay garantía de que exista un extremo absoluto.

Debemos tomar en cuenta que no todas las gráficas tienen máximos y mínimo. En la siguiente imagen podemos ver la gráfica y=x² en donde ambos lados de la gráfica se extienden hasta el infinito ya que la gráfica no se encuentra delimitada, por lo cual no existe un valor máximo, sino que solo un valor mínimo en x=0. En la segunda gráfica, se puede observar que no tiene valor máximo ni valor mínimo absoluto. De hecho, tampoco posee valores extremos locales.

TEOREMA DE EXISTENCIA DE MÁXIMO Y MÍNIMO. Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo dentro de ese intervalo.

Como lo vimos en los ejemplos anteriores, lo importante de este teorema es que f debe ser continua y debe de existir un intervalo cerrado

EJEMPLO 1: Encuentre los extremos absolutos de la siguiente función

SOLUCIÓN:

PASO 1. Encontrar todos los puntos críticos en el intervalo abierto (-3,8)

Derivamos la función

Encontramos las raíces de la derivada. Como es una ecuación cuadrática podemos encontrar los valores por medio de factorización o formula general. En este caso utilizaremos factorización.

Con esto podemos observar que los puntos críticos de la función son -2 y 4 por lo que ambos valores se encuentran dentro del intervalo

PASO 2. Evaluar los puntos críticos y los puntos de frontera en la función.

PASO 3. Identificar el valor mayor y menor de la función. En la tabla se puede observar que el menor valor en la función se encuentre en el punto (4,-78) y el mayor en (8,130)

ACTIVIDAD I:  Encuentre los valores extremos absolutos de la siguiente función