9.2 Movimiento de un punto P.

Cuando un cuerpo rígido como el de la figura 10.6 gira, el punto P se desplaza a lo largo de una trayectoria circular de radio r con centro en el punto O. Esta trayectoria está contenida en el plano sombreado de la vista superior, figura 9.7.

Figura 9.6

Figura 9.7

Posición y desplazamiento. La posición de P está definida por el vector de posición r, el cual se extiende desde O hasta P. Si el cuerpo gira dθ entonces P se desplazará ds=r dθVelocidad. La magnitud de la velocidad de P se calcula al dividir ds=r dθ entre dt de modo que

Como se muestra en las figuras 9.6 y 9.7, la dirección de v es tangente a la trayectoria circular.

Tanto la magnitud como la dirección de v también pueden tenerse en cuenta si se utiliza el producto vectorial de y rp.

En este caso, la dirección rp es de cualquier punto sobre el eje de rotación al punto P, figura 10.6. Tenemos

Nota: Observar regla de la mano derecha en la figura 10.6 (Los dedos de la mano derecha se enroscan de hacia rp).  El pulgar indica la dirección correcta de v, la cual es tangente a la trayectoria en la dirección del movimiento.

Aceleración. La aceleración de P puede expresarse en función de sus componentes normal y tangencial. Como at=dvdt y an=v2, donde ρ=r, v=ωr y α=dωdt, tenemos 

1.- Aceleración tangencial

2.- Aceleración normal

El componente tangencial de la aceleración, figuras 10.8 y 10.9, representa el cambio con respecto al tiempo de la magnitud de la velocidad.

La componente normal de la aceleración representa el cambio con respecto al tiempo de la dirección de la velocidad. La dirección de an siempre es hacia O, el centro de la trayectoria circular, figuras 9.8 y 9.9.

Figuras 9.8 y 9.9

Al igual que la velocidad, la aceleración del punto P puede expresarse en función del producto vectorial (producto cruz). Si consideramos la derivada con respecto al tiempo de la ecuación 

Tenemos

Recordando,

Se obtiene

La ecuación anterior puede identificarse por sus dos componentes como

Puesto que at y an son perpendiculares entre sí, si se requiere, la magnitud de la aceleración puede determinarse con el teorema de Pitágoras, es decir, a=an2+at2

Notas importantes:

Resolver los siguientes ejercicios

1.- Una niña subida en una rueda de la fortuna, tiene una trayectoria circular y recorre 3 600°. ¿Cuántos radianes fueron?

2.-  ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular de una llanta de un camión que gira desplazándose 12 rad en 0.5 segundos?

3.- Llevar a clase un formulario de lo visto en la sesión de hoy.