7.1. REGLA DE LA CADENA
En las sesiones anteriores aprendimos que la derivada de sen(x) es cos(x). Pero, ¿Cuál sería la derivada de sen(x2)? En primera instancia podríamos contestar que es cos(x2), pero esto es INCORRECTO. Las reglas que hemos visto hasta este momento solo aplican a funciones simples y no a una composición de funciones. La función sen(x2) es una función compuesta porque puede construirse como f(g(x)) para f(x)=sin(x) y g(x)=x².Para este tipo de funciones utilizamos la regla de la cadena.
La regla de la cadena es una de las técnicas más utilizadas en cálculo diferencial y se utiliza para derivar una composición de funciones. Recordemos que una composición de funciones puede considerarse como una función dentro de otra función o como una función de otra función. La regla de la cadena establece que:
En palabras, la regla de cadena se puede expresar como: “la derivada de una función compuesta es igual al producto de la derivada de la función externa (derivada externa) por la derivada de la función interna (derivada interna).”
En la siguiente tabla podemos observar algunos ejemplos de funciones simples y de funciones compuestas que se deben de resolver por regla de la cadena.
EJEMPLO 1: Derivar la siguiente función por regla de la cadena
SOLUCIÓN: El primer paso consiste en identificar la función externa e interna de la función compuesta
Derivar tanto la función externa como la función interna
Aplicamos la fórmula de la regla de la cadena
Simplificar la función resultante en caso de ser posible
EJEMPLO 2: Derivar la siguiente función por regla de la cadena
SOLUCIÓN: Identificar la función externa e interna de la función compuesta
Aplicamos la fórmula de la regla de la cadena
Si queremos aplicar la regla de la cadena a la composición de dos o más funciones, debemos tomar en cuenta que tenemos que trabajar desde la función externa hacia adentro. También es útil recordar que la derivada de la composición de dos funciones puede considerarse como que tiene dos partes; la derivada de la composición de tres funciones tiene tres partes; y así sucesivamente. Esto nos dice que habrá funciones en las que tengamos que aplicar más de una vez la regla de la cadena. Veamos el siguiente ejemplo
EJEMPLO 3: Derivar la siguiente función por regla de la cadena
SOLUCIÓN: Primero reescribimos la función
A diferencia de los ejemplos anteriores, aquí nos encontramos con una composición de más de dos funciones. Por esta razón, el primer paso consiste en identificar las funciones que la componen desde la función exterior hasta la más interior. En este caso la función exterior, es la función potencia v3, después la función trigonométrica sen(u) y por último el polinomio 3x2-1.
Una vez identificadas las funciones, empezamos por derivar la función externa (función I) y multiplicándola por la derivada de la función que se encuentra dentro:
Derivamos la función II
Por último, derivamos la función III:
Simplificamos la función si es posible
Para mayor información ver el siguiente video
ACTIVIDAD: Encontrar la derivada de las siguientes funciones. Recuerda subir tu actividad a classroom
ACTIVIDAD: Descargar el siguiente formulario y llevarlo impreso a clase. (Obtenido del libro Calculo de una Variable: Trascendentes tempranas)
BIBLIOGRAFÍA
Stewart, J., (2012). Calculo de una Variable: Trascendentes tempranas (7ma ed.). CENGAGE Learning.
Zill, D. G., Wright, W. S., (2011). Matemáticas I: Cálculo Diferencial. McGraw Hill.
Saenz J., (2014). Cálculo Diferencial con Funciones Trascendentes Tempranas para Ciencias e Ingeniería (3° ed.). Editorial HIPOTENUSA.